如图，我按照链接的标准格式写作，但是却只能显示为隐藏的链接
建议把原文贴出来，光看截图很难复现。
0.为什么要考虑上下极限
- 在开始之前，我们先引入一个概念：极限点。
[!note] 极限点
我们称数列的子列的极限为极限点，
显然有这几种情况：
1.收敛数列的极限点只有一个，即原数列的极限。
2.有界不收敛数列的极限点可能有若干个甚至无穷多个。
3.无界数列的极限可能是：若干+$\pm \infty$
- 当然，在所有极限点中，我们应该有限关注那些特殊的极限点：即最大和最小的极限点。
- 通过比较这两个极限，我们可以得到关于原数列的一些性质。比如上极限=下极限就说明数列收敛。
以上，自然引出了上下极限的概念。
1. 上下极限的定义
[!note] 上/下极限的初始定义
设${ an }$，$E$是数列所有极限点的集合,则
$$\sup E=\limsup_{n \to \infty} a_{n},\inf E=\liminf_{n \to \infty} a_{n}$$
2. 上下极限的性质及证明
上下极限有如下刻画，以下先证明三种刻画是等价的。
[!note] 上/下极限的其它刻画方式
1.：初始定义$\limsup_{n \to \infty} a_{n}和 \liminf_{n \to \infty} a_{n}$
2.：$\varepsilon-\delta$： $$E={a \in R,\forall \varepsilon>0, \exists N,n>N时有a_{n}< a+ \varepsilon } $$ $$ F={a \in R,\forall \varepsilon>0, \exists N,n>N时有a_{n}> a- \varepsilon } $$
$\limsup_{ n\to \infty }a_{n} = \sup E,\liminf_{n \to \infty }a_{n} = \inf F$
3.：与原数列直接挂钩：$\lim_{n \to \infty} \sup {k\geq n} a{k}~和\lim_{n \to \infty} \inf {k \geq n}a{k}$
2.1.1 上极限为最大的极限点，下极限为最小的极限点。
- 这即是说，上下极限虽然是极限点集合的上下确界，但它们也是集合中的元素。
记 $\limsup_{n \to \infty} a_{n} =L$
极限点集合$E$中有有限个元素的情况比较简单，现考虑有无限个元素的情况。
1.$L=+\infty$
原数列无界，根据 必定可以取出一个子列$\to +\infty$。故$+\infty$是一个极限点。
2.$L= -\infty$
显然，$E$中只有一个元素$-\infty$。故$-\infty$是一个极限点。
3.$L$是有限数
我们希望找到一个数列收敛到$L$，但是直接找可能不大现实，所以可能需要我们构造一个收敛数列$a_{k_{n}}$收敛到$L$。
根据极限的拓扑定义，考虑在$L$的任意一个邻域内塞下无穷多个$a_{k_{n}}$，如果让邻域构成一无穷小数列就能做到这点。
回忆[[上确界和下确界|上确界的定义]]， $$
\forall r, \exists x \in E, x \in (L-r,L)
$$那么$取r = 1\implies x \in\left( L- 1 ,L \right)$，就表明这个区间内一定有$a_{n}$的极限点$l_1$,又可以在$l_{1}$附近的很小的邻域里面找到无穷多项，所以必定有 $$
L-1<l_{1}<L \implies L-1< a_{k_{1}}< L
$$归纳地有： $$
L-\frac{1}{n} < l_{n} <L\implies L- \frac{1}{n}< a_{k_{n}}< L
$$
即 $$
\lim_{n \to \infty} a_{k_{n}} =L
$$
[!tip] 证明的直观理解
实际上，由于$L$是上界，所以肯定存在一组不断逼近的极限点构成的序列。而当n很大时，极限点就可以近似代替它附近的项。即肯定存在一个子列的向着$L$逼近
初次尝试时的错误证明：$$\forall \varepsilon>0 ,\exists x \in E, |a^{}-x|< \frac{\varepsilon}{2} $$$$\forall \varepsilon>0 ,n充分大时有|x-a_{k_n}|< \frac{\varepsilon}{2}$$故$$|a_{k_{n}}-a|<\varepsilon，即a^{}是一个极限点$$错误原因：对于每个不同的$\varepsilon$，选择不同的极限点$x$ 和不同的子列${a_{k_{n}}}$。
这不是构造一个固定的子列收敛于 $a^{}$，而是对于每个$\varepsilon$找到了一个"点"$a_{k_{n}}$ 满足$|a_{k_{n}}-a^{*}|<\varepsilon$，但这些点可能来自不同的子列。
2.1.2 上下极限的拓扑性质（1.等价于2.）
[!note] 证明：
$$E={a \in R,\forall \varepsilon>0, \exists N,n>N时有a_{n}< a+ \varepsilon } $$ $$ F={a \in R,\forall \varepsilon>0, \exists N,n>N时有a_{n}> a- \varepsilon } $$
$$\limsup_{ n\to \infty }a_{n} = \inf E,\liminf_{n \to \infty }a_{n} = \sup F$$
以上极限为例：
对于等于号，我们根据[[an epsilon of room]]的原则，将其转化为“$\geq$”+“$\leq$”的形式。——以便充分使用$E$的性质。
1.$L=\limsup_{n \to \infty} a_{n} \geq \inf E$
为了将"="号更干净地剥离出来，采用反证的方式，假设$$\limsup_{ n\to \infty }a_{n} < \inf E$$那么$L$显然不是$E$中的元素。
考虑对于$L$的刻画：
(1)$L$是最大的极限点，(2)其任意小的邻域包含了$a_{n}$的无数项。
我们直接让 $n \to +\infty$,那么有无穷项肯定落在$\inf E$附近，这就不对。
由题： $$
对于L,\exists \varepsilon, \forall N, n>N时有a_{n}\geq L+\varepsilon
$$故由[[Bolzano-Weierstrass定理（聚点定理）]]定可以找到一个更大的极限点。即$L$不是最大的极限点。
2.$L=\limsup_{n \to \infty} a_{n} \leq \inf E$
同样反证，假设$$\limsup_{ n\to \infty }a_{n} > \inf E$$还是令$n \to +\infty$，那么根据$E$的性质，$a_{n}$全部落在$E$的左边，这显然不对。
所以$\exists l \in E,l< L$， $$
n\to \infty 时,肯定存在\varepsilon使L>l+\varepsilon, 且a_{n}<l+\varepsilon
$$所以$a_{n}$在$(l+\varepsilon,+\infty)$只有${ an }$中的有限项，$L$显然不是一个极限点。
2.1.3 上下极限和原数列的关系（1.等价于3.）
[!note] 定理
$$
\limsup_{n \to \infty} a_{n}= \lim_{n \to \infty} \sup {k \geq n} a{k}
$$
$$
\liminf_{n \to \infty} a_{n}= \lim_{n \to \infty} \inf {k \geq n} a{k}
$$
以上极限为例，先来考虑这个数列的性质： $$
b_{n}= \sup {k\geq n} a{k} = \sup { a_{n},a_{n+1},\dots }
$$显然，$b_{n}$单调递减。由于$b_{n}$单调，其必有极限。
若$b_{n}\to L$,（$L$是一个有限数，$\pm \infty$的情况比较简单，略），根据[[an epsilon of room]]的想法，我们还是先考虑证 $$
L\geq \limsup_{n \to \infty} a_{n}与L \leq \limsup_{n \to \infty}a_{n}
$$1. $L\geq \limsup_{n \to \infty} a_{n}$
显然 $$
b_{n} \geq a_{n} \implies \limsup_{n \to \infty}b_{n}\geq \limsup_{n \to \infty} a_{n}
$$而由于$b_{n}$极限存在，所以只有一个极限点，故$$
\limsup_{n \to \infty } b_{n}= \lim_{n \to \infty} b_{n} \implies \lim_{n \to \infty} b_{n}=L \geq \limsup_{n \to \infty} a_{n}
$$2. $L\leq \limsup_{n \to \infty} a_{n}$
考虑上极限的刻画，这里显然应该应用拓扑定义，记$\limsup_{n \to \infty}a_{n} =l$，那么 $$
\forall \varepsilon >0 ,\exists N, n>N 时有 a_{n}<l+\varepsilon
$$这里可以直接直观看出$b_{n}<l+\varepsilon$，下面转化为数学语言：
回忆[[上确界和下确界|确界的定义]]，$$对于这个 \varepsilon,\exists m>n, b_{n}-\varepsilon<a_{m}<l+\varepsilon \implies b_{n}<l +2 \varepsilon$$两边取极限，并令$\varepsilon \to 0$有： $$
\lim_{n \to \infty} b_{n} = \lim_{n \to \infty} \sup {k\geq n} a{n} \leq l= \limsup_{n \to \infty} a_{n}
$$
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看着像是这一段有问题。
另外如果要用公式块$$，最好换行开始写。
谢谢，已解决，这个东西比较神奇。
最后发现必须把$$公式块写成一行，中间不能换行
是可以换行的。但是得看具体的latex语法，因为用的扩展语法一多（特别是用了官方兼容性不好的）可能就会有问题。